MOS 小信号模型（π 模型与 T 模型）

器件基础（工作区定义、gm 公式、非理想效应）见 MOS器件特性；gm/Id 设计方法见 gmid方法。

为什么需要小信号模型

大信号 I-V 方程（平方律、指数等）是非线性的，无法直接做叠加和线性分析。小信号模型的思路：在直流工作点（偏置点）附近对电流方程做泰勒展开并取一阶项，得到工作点处的线性化等效电路。只要信号摆幅远小于偏置（ $v_{g s} ≪ V_{o v}$ ），误差可忽略。

示例（饱和区平方律， $V_{G S} + v_{g s}$ ）：

I_{D} = \frac{1}{2} μ C_{o x} \frac{W}{L} (V_{G S} + v_{g s} - V_{T H})^{2} = \underset{直流偏置项}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} μ C_{o x} \frac{W}{L} V_{o v}^{2}}} + \underset{一阶项}{\underset{⏟}{μ C_{o x} \frac{W}{L} V_{o v} v_{g s}}} + \underset{高阶项，忽略}{\underset{⏟}{\dots}}

一阶项系数正是 $g_{m}$ 。分析规则：小信号电路中理想电压源短路、理想电流源开路、直流偏置点保持不变；所有电容视为短路（低频）。

小信号参数（承接 MOS器件特性）

参数	表达式	含义
$g_{m}$	$\frac{2 I_{D}}{V_{o v}} = μ C_{o x} \frac{W}{L} V_{o v} = \sqrt{2 μ C_{o x} \frac{W}{L} I_{D}}$	栅压 → 漏电流的转换能力
$r_{o}$	$\frac{1}{g_{d s}} \approx \frac{1}{λ I_{D}} \approx \frac{V_{A}}{I_{D}}$	沟道长度调制引起的输出阻抗
$g_{m b}$	$η g_{m}$ （ $η \approx 0.1 \sim 0.3$ ）	衬底电位 → 漏电流（体效应）

完整小信号电流关系：

i_{d} = g_{m} v_{g s} + g_{m b} v_{b s} + g_{d s} v_{d s}

π 模型（混合 π 模型）

Razavi 教材及大多数教科书、EDA 工具采用的标准模型。

低频模型（含体效应）

MOS小信号模型.assets/pi_model.png460

图 1：π 模型（低频，含体效应）。去掉 $g_{m b} v_{b s}$ 支路即忽略体效应的基本 π 模型。

要点：

栅-源开路：栅极被氧化层绝缘， $i_{G} = 0$ ，栅端不参与任何电流通路；
漏-源之间：压控电流源 $g_{m} v_{g s}$ （体现"栅压转电流"）与 $r_{o}$ 并联；衬底不与源极短接时，再并联一个 $g_{m b} v_{b s}$ 受控源；
左侧（G-S 间）是输入端口，右侧（D-S 间）是输出端口，形状如希腊字母 $π$ ；
$g_{m} v_{g s}$ 与 $g_{m b} v_{b s}$ 极性一致：抬高衬底电位与抬高栅压的效果相同（方向均为增加 $i_{d}$ ）。

高频模型

在低频模型基础上叠加寄生电容（与 SPICE/仿真模型一致）：

MOS小信号模型.assets/pi_model_hf.png460

图 2：π 模型（高频，叠加寄生电容 $C_{g s}$ 、 $C_{g d}$ 、 $C_{s b}$ 、 $C_{d b}$ ）。

电容	饱和区近似	来源
$C_{g s}$	$\frac{2}{3} W L C_{o x} + W C_{o l}$	栅-沟道电荷（反型层）+ 交叠
$C_{g d}$	$W C_{o l}$	栅-漏交叠
$C_{g b}$	小（反型层屏蔽后几乎为 0）	栅-衬底
$C_{s b}$ 、 $C_{d b}$	结电容，反偏，随电压变化	源/漏-衬底 PN 结

特征频率：

f_{T} = \frac{g_{m}}{2 π (C_{g s} + C_{g d})} \propto \frac{V_{o v}}{L}

T 模型

推导思路（π 模型的等效变换）

由于栅极电流恒为 0， $v_{g s}$ 跨在栅-源之间，且 $i_{d} = g_{m} v_{g s}$ ，于是：

v_{g s} = \frac{i_{d}}{g_{m}}

把"电压控制电流"改写为"电流在源极通路上产生电压"，相当于在栅-源之间串联一个电阻 $1 / g_{m}$ （戴维南/诺顿式变换），受控电流源保留在漏-源之间， $r_{o}$ 仍并联在漏-源之间：

MOS小信号模型.assets/t_model.png460

图 3：T 模型（低频，基本型；含体效应时垂直支路电阻改为 $1 / (g_{m} + g_{m b})$ ，见下）。

三个端子呈"T"形： $1 / g_{m}$ 是竖直支路（栅-源之间），源极节点是 T 的交点； $g_{m} v_{g s}$ 与 $r_{o}$ 并联，跨接在源极节点与漏极端子之间（图中 S 横杆与 D 横杆之间）。

带体效应的 T 模型

以源极为参考（ $v_{b s} = - v_{s}$ ），从源端看进去的总电流为 $(g_{m} + g_{m b}) v_{g s}$ ，因此垂直支路电阻变为：

R_{S}^{(看入源端)} = \frac{1}{g_{m} + g_{m b}}

即体效应相当于把源极通路电阻从 $1 / g_{m}$ 减小到 $1 / (g_{m} + g_{m b})$ ——体效应在 T 模型中体现为栅-源等效电阻的并联分路，比 π 模型里"再画一个受控源"更直观。

为什么 T 模型只适合低频

$1 / g_{m}$ 这一变换依赖于 $i_{d} = g_{m} v_{g s}$ 的静态线性关系，加入寄生电容后受控源与电容的拓扑关系不再保持 $π$ 形的节点结构，变换不再便捷——高频分析统一用 π 模型。

π 模型 vs T 模型

对比项	π 模型	T 模型
跨导实现	漏-源间并联受控源 $g_{m} v_{g s}$	栅-源间串联电阻 $1 / g_{m}$ + 受控源
输出电阻 $r_{o}$	漏-源间并联	漏-源间并联（两种模型相同）
体效应	额外受控源 $g_{m b} v_{b s}$	源极电阻变为 $1 / (g_{m} + g_{m b})$
高频	必须用它（叠加寄生电容，与仿真一致）	不适用
典型教材	Razavi	Gray & Meyer、Sedra/Smith
强项	系统性节点分析、公式推导、与 EDA 对接	源极相关拓扑的直觉、手算快

低频下两者完全等价，可互相转换，结果不会因模型选择而不同——选模型只是选"哪个分析起来更省力"。

T 模型的典型应用（π 模型下较繁琐的场景）

1. 共栅级：输入电阻 $\approx 1 / g_{m}$

信号从源端注入、栅极接交流地：从源端看进去直接就是 $1 / g_{m}$ （忽略 $r_{o}$ ，含体效应为 $1 / (g_{m} + g_{m b})$ ）。共栅级输入电阻低（ $50 \sim 500 Ω$ 量级），常用作电流缓冲/共栅输入级。

2. 带源极负反馈的共源级（source degeneration）

T 模型视角：源极通路上的电阻（ $1 / g_{m}$ 与 $R_{S}$ 串联）决定了电流转换，漏端向上看到的阻抗决定了增益。等效跨导：

G_{m} = \frac{i_{d}}{v_{i n}} \approx \frac{g_{m}}{1 + g_{m} R_{S}} (忽略 r_{o}, g_{m b})

考虑 $r_{o}$ 与 $g_{m b}$ 的完整结果（ $R_{S}$ 为源极退化电阻， $R_{D}$ 为漏极负载）：

A_{v} = - \frac{g_{m} R_{D} r_{o}}{R_{D} + r_{o} + R_{S} + (g_{m} + g_{m b}) r_{o} R_{S}}

R_{o u t} = R_{D} ∥ [r_{o} + R_{S} + (g_{m} + g_{m b}) r_{o} R_{S}], A_{v} = - G_{m} R_{o u t}

反馈作用： $G_{m}$ 下降，但 $R_{o u t}$ 上升、线性度与带宽改善——增益-线性度-带宽的折中。

3. 源跟随器（共漏级）

漏端接交流地，输出从源端取。T 模型看：输出电阻即源极通路电阻与负载并联：

R_{o u t} = \frac{1}{g_{m} + g_{m b}} ∥ R_{S}

A_{v} = \frac{g_{m} R_{S}}{1 + (g_{m} + g_{m b}) R_{S}} < 1

理想情况下（ $R_{S} \to \infty$ ）增益上限 $g_{m} / (g_{m} + g_{m b})$ ，恒小于 1；体效应是源跟随器增益损失的主要原因之一。

与 BJT 混合 π 模型的联系

MOS 的 π 模型与 BJT 混合 π 模型形式相同，关键差异：

	MOSFET	BJT
输入电阻	$\infty$ （栅极绝缘， $r_{π} \to \infty$ ）	$r_{π} = β / g_{m}$ （有限）
跨导	$\frac{2 I_{D}}{V_{o v}}$ （ $I_{D}$ 的平方根律）	$\frac{I_{C}}{V_{T}}$ （线性律）
同电流下 $g_{m}$	小约一个数量级（典型 mS 量级）	大（ $V_{T} \approx 26 mV$ ）

所以 MOS 放大级往往需要更大的 $W / L$ 或电流才能获得同等 $g_{m}$ ——这正是 gmid方法强调"单位电流换跨导效率"的原因。

总结

小信号模型 = 工作点处的一阶线性化，直流置零规则分析；
π 模型：Razavi/EDA 标准，适合公式推导、节点分析、高频（唯一选择）；
T 模型：π 的等效变换（ $1 / g_{m}$ 进源极通路），低频下手算共栅输入电阻、源跟随器、源极负反馈时更直观；
体效应两种模型都能处理：π 加 $g_{m b} v_{b s}$ 受控源，T 把源极电阻改为 $1 / (g_{m} + g_{m b})$ ；
两模型低频等价，选型不影响结果，只影响分析效率。

MOS 小信号模型（π 模型与 T 模型）

为什么需要小信号模型

小信号参数（承接 MOS器件特性）